Oppervlakte cirkel

Wiskunde01-08-2014admin23
Oppervlakte cirkel

Inleiding

Een cirkel is een meetkundig figuur waarbij ieder punt op de cirkel een gelijke afstand heeft tot het middelpunt M. Deze afstand noemen we de straal van een cirkel. Deze schrijven we als r. De oppervlakte van een cirkel is de binnenkant van een cirkel. De omtrek van een cirkel is de rand. Hoe berekenen we nu de oppervlakte? Zie afb.1. Daar zie je dat de oppervlakte van het blauwe vierkant gelijk is aan r*r = r2. Je ziet dat we vier van die blauwe vierkanten hebben. Dus de oppervlakte van het grote vierkant "om de cirkel" is dus 4*r2. Voor de daadwerkelijke oppervlakte van de cirkel moeten we dus een factor nemen die kleiner dan 4 is. 3 misschien? De factor ligt tussen de 3 en 4. Het is namelijk 3,14. We noemen dat ook wel Pi.

Om de oppervlakte (en omtrek) van een cirkel te berekenen, maken we dus gebruik van het getal π (pi). Pi is afgerond 3,14. Pi is het aantal keren dat de diameter op de rand past. M.a.w. op iedere cirkel past de bijbehorende diameter 3,14 keer op de rand.

Formule Oppervlakte cirkel

Oppervlakte cirkel = π * straal * straal = π * r2

Voorbeelden Oppervlakte cirkel

Voorbeeld 1
Een rond grasveld heeft een diameter van 12,4 meter. Bereken de hoeveelheid m2 graszoden die je nodig hebt om dit grasveld te bedekken. Rond af op 2 decimalen.
Uitwerking:

Voor de formule hebben we de straal r nodig. Gegeven is de diameter. Diameter is 2x de straal. De straal r is dus 1/2 * 12,4 = 6,2meter.
- Dus r = 6,2.
- Gebruik de formule: oppervlakte cirkel = straal x straal x π
- Invullen levert: oppervlakte cirkel = 6,2 * 6,2 * π => 120,76 m2.

Voorbeeld 2
Zie afb.3. Gegeven een vierkant ABCD met AB = 4 cm. Bereken de oppervlakte van het oranje gedeelte. Rond af op 1 decimaal.
Uitwerking:

De zijde AB van het vierkant is 4 cm. Dat betekent dat de straal van de cirkel is 2 cm. De oppervlakte van de hele cirkel zou zijn: π * r2 = 12,57cm2. Aangezien we maar een kwart cirkel hoeven te hebben, is de oppervlakte van het oranje stuk: 1/4 * 12,57 ≈ 3,1cm2.

Bewijs Oppervlakte cirkel

Zie afb.2. Daar zien we een cirkel die we in 8 segmenten hebben verdeeld. Als we die segmenten anders bekijken, kunnen we deze zo neerleggen dat er bijna "een rechthoek" ontstaat. De oppervlakte van een rechthoek is lengte x breedte. In dit geval is de lengte: de halve cirkel omtrek (alle blauwe boogjes bij elkaar). De breedte van de te benaderen "rechthoek" of wel de hoogte is gelijk aan r.
Hieruit volgt dat de oppervlakte is lengte x breedte en dat wordt: 1/2 * omtrek cirkel * hoogte = 1/2 * 2 * π * r * r.
Hieruit volgt: oppervlakte cirkel = π * r2

Naarmate we meer segmenten nemen, bijv. 64 of 32.768 of zelfs oneindig veel segmenten, de oppervlakte convergeert naar π * r2.

Extra

Naast de oppervlakte van een cirkel, kunnen we ook de omtrek van een cirkel bepalen:
Omtrek cirkel = diameter * π = 2 π r

Gerelateerd

Omtrek cirkel Hoe bereken je de omtrek van een cirkel? Bij iedere cirkel hebben we steeds de ...
Pi Het getal π = 3,14159... is een van de geheimzinnigste en interessantste geta...
Oppervlakte cilinder Een cilinder is een meetkundig figuur die bestaat uit drie onderdelen (zie afb.1...

Video

Wiskunde.net © 2009 - 2014