TIP: Wil je ook toegang tot meer dan 16.000 video-uitwerkingen? Meld je dan snel aan! Klik hier...
|
|
|
|
|
Antwoorden 2.1 Gelijkvormige driehoeken VWO 3
Boek: Getal & Ruimte - Gelijkvormigheid VWO 3 (deel 1) opgaven 1 t/m 18, 2011Bij een vergroting van driehoek ABC met een vergrotingsfactor 2 krijgen we een nieuwe driehoek DEF.
ABC noemen we het origineel en DEF noemen we het beeld. Bij een vergroting zijn de driehoeken gelijkvormig en zijn de overeenkomstige hoeken gelijk.
Om de zijden te bepalen, stellen we een verhoudingstabel op.
ABC noemen we het origineel en DEF noemen we het beeld. Bij een vergroting zijn de driehoeken gelijkvormig en zijn de overeenkomstige hoeken gelijk.
Om de zijden te bepalen, stellen we een verhoudingstabel op.
1.
10 x 21 = 14 x 15 (210)
Je ziet dat de uitkomsten gelijk zijn.
2.
b. x = ( 2,3 ⋅ 8) / 5,7 ≈ 3,2
c. x = ( 18 ⋅ 20) / 27 ≈ 13,3
3.
b. 3(x + 3) = 5(x - 1)
3x + 9 = 5x - 5
-2x = -14
x = 7
4.
a.
2(x - 5) = 7(x + 1)
2x - 10 = 7x + 7
-5x = 17
x = -17/5
x = -3,4
b.
3(2x + 1) = 4(x - 1)
6x + 3 = 4x - 4
2x = -7
x = -3,5
c.
7,9x = 2,3(3x + 2)
7,9x = 6,9x + 4,6
7,9x - 6,9x = 4,6
x = 4,6
5.
x = ( 18 ⋅ 17) / 23 ≈ 13,30
y = ( 23 ⋅ 73) / 18 ≈ 93,28
b.
15x = 7(x + 3)
15x = 7x + 21
8x = 21
x = 21/8
x ≈ 2,63
7y = 15(y - 5)
7y = 15y - 75
-8y = -75
y = -75/-8
y ≈ 9,38
c.
2x = 3(x + 5)
2x = 3x + 15
-x = 15
x = -15
6.
b.
=>
PQ = (8 x 12) / 18 = 96/18 ≈ 5,3
PR = (8 x 16) / 18 = 128/18 ≈ 7,1
7.
b.
=>
TS = (5 x 8) / 12 = 3,3
PS = (5 x 7) / 12 = 2,9
8.
b.
=>
BD = (3,2 x 7,6) / 4,3 ≈ 5,7
EB = (6,1 x 7,6) / 4,3 ≈ 10,8
9.
b. driehoek ABC ∼ driehoek DEF
=>
BC = (147 x 139,5) / 166 = 123,5
Dus de hoogte van WPC is 123,5 meter.
c.
driehoek DEF ∼ driehoek PQR
=>
PQ = (166 x 185) / 139,5 = 220,1
Dus de lengte van de schaduw van de euromast is 220,1 meter.
10.
∠A1 = ∠A2
∠B = ∠E
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk!)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek AED
b.
=>
AD = (8 x 3) / 6 = 4
ED = (8 x 4) / 6 = 5,3
CD = AD - AC = 4 - 3 = 1
Tip:
Bij een verhoudingstabel zijn de diverse kruisproducten gelijk.
Als er geen sprake is van een verhoudingstabel dan zijn de uitkomsten dus niet gelijk.
2 x 25 = 10 x 5 (50)Bij een verhoudingstabel zijn de diverse kruisproducten gelijk.
Als er geen sprake is van een verhoudingstabel dan zijn de uitkomsten dus niet gelijk.
10 x 21 = 14 x 15 (210)
Je ziet dat de uitkomsten gelijk zijn.
2.
Tip:
Maak het juiste kruisproduct.
a. x = ( 4 ⋅ 7) / 3 ≈ 9,3Maak het juiste kruisproduct.
b. x = ( 2,3 ⋅ 8) / 5,7 ≈ 3,2
c. x = ( 18 ⋅ 20) / 27 ≈ 13,3
3.
Tip:
Vul de uitkomst x = 7 maar in in de tabel. Je krijgt dan de verhoudingstabel 3 / 5 met 6 / 10 en dat klopt.
En kruisproduct 5 x 6 = 3 x 10 klopt ook.
a. kruisproduct: 3(x + 3) = 5(x - 1)Vul de uitkomst x = 7 maar in in de tabel. Je krijgt dan de verhoudingstabel 3 / 5 met 6 / 10 en dat klopt.
En kruisproduct 5 x 6 = 3 x 10 klopt ook.
b. 3(x + 3) = 5(x - 1)
3x + 9 = 5x - 5
-2x = -14
x = 7
4.
a.
2(x - 5) = 7(x + 1)
2x - 10 = 7x + 7
-5x = 17
x = -17/5
x = -3,4
b.
3(2x + 1) = 4(x - 1)
6x + 3 = 4x - 4
2x = -7
x = -3,5
c.
7,9x = 2,3(3x + 2)
7,9x = 6,9x + 4,6
7,9x - 6,9x = 4,6
x = 4,6
5.
Tip:
Ook hier maak bij elk kruisproduct steeds gebruik van de verhouding 18 / 23 (opgave a.) en 15 / 7 (opgave b.).
a.Ook hier maak bij elk kruisproduct steeds gebruik van de verhouding 18 / 23 (opgave a.) en 15 / 7 (opgave b.).
x = ( 18 ⋅ 17) / 23 ≈ 13,30
y = ( 23 ⋅ 73) / 18 ≈ 93,28
b.
15x = 7(x + 3)
15x = 7x + 21
8x = 21
x = 21/8
x ≈ 2,63
7y = 15(y - 5)
7y = 15y - 75
-8y = -75
y = -75/-8
y ≈ 9,38
c.
2x = 3(x + 5)
2x = 3x + 15
-x = 15
x = -15
6.
Tip:
'slangetje' of 'liggende S' betekent: is gelijkvormig met
a. driehoek ABC ∼ driehoek QRP'slangetje' of 'liggende S' betekent: is gelijkvormig met
b.
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek QRP | QR | PR | QP |
| 18 | 16 | 12 |
| 8 | PR | QP |
PQ = (8 x 12) / 18 = 96/18 ≈ 5,3
PR = (8 x 16) / 18 = 128/18 ≈ 7,1
7.
Tip:
Je kunt ook de 2 driehoeken naast elkaar tekenen. Dan zie je het beter en kun je de verhoudingstabel beter maken.
a. driehoek PQR ∼ driehoek PTSJe kunt ook de 2 driehoeken naast elkaar tekenen. Dan zie je het beter en kun je de verhoudingstabel beter maken.
b.
| driehoek PQR | PQ | QR | PR |
| driehoek PTS | PT | TS | PS |
| 12 | 8 | 7 |
| 5 | TS | PS |
TS = (5 x 8) / 12 = 3,3
PS = (5 x 7) / 12 = 2,9
8.
Tip:
Teken eerst driehoek ABC op een los blaadje. Teken daarnaast driehoek EBD alsof deze een juiste vergroting is van driehoek ABC. Op deze wijze kun je weer heel gemakkelijk de verhoudingstabel maken.
a. driehoek ABC ∼ driehoek EBDTeken eerst driehoek ABC op een los blaadje. Teken daarnaast driehoek EBD alsof deze een juiste vergroting is van driehoek ABC. Op deze wijze kun je weer heel gemakkelijk de verhoudingstabel maken.
b.
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek EBD | EB | BD | DE |
| 6,1 | 3,2 | 4,3 |
| EB | BD | 7,6 |
BD = (3,2 x 7,6) / 4,3 ≈ 5,7
EB = (6,1 x 7,6) / 4,3 ≈ 10,8
9.
Tip:
In een verhoudingstabel staat de langste zijde onder de langste zijde en de kortste zijde onder de kortste zijde.
a. Zie afbeeldingIn een verhoudingstabel staat de langste zijde onder de langste zijde en de kortste zijde onder de kortste zijde.
b. driehoek ABC ∼ driehoek DEF
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek DEF | DE | EF | DF |
| 147 | BC | AC |
| 166 | 139,5 | DF |
BC = (147 x 139,5) / 166 = 123,5
Dus de hoogte van WPC is 123,5 meter.
c.
driehoek DEF ∼ driehoek PQR
| driehoek DEF | DE | EF | DF |
| driehoek PQR | PQ | QR | PR |
| 166 | 139,5 | DF |
| PQ | 185 | PR |
PQ = (166 x 185) / 139,5 = 220,1
Dus de lengte van de schaduw van de euromast is 220,1 meter.
10.
Tip:
Als driehoek ABC gelijkvormig is met driehoek DEF dan:
∠A = ∠D
∠B = ∠E
∠C = ∠F
a.Als driehoek ABC gelijkvormig is met driehoek DEF dan:
∠A = ∠D
∠B = ∠E
∠C = ∠F
∠A1 = ∠A2
∠B = ∠E
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk!)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek AED
b.
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek AED | AE | ED | AD |
| 6 | 4 | 3 |
| 8 | ED | AD |
AD = (8 x 3) / 6 = 4
ED = (8 x 4) / 6 = 5,3
CD = AD - AC = 4 - 3 = 1
11.
∠A = ∠A
∠C1 = ∠D = 90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk!)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek AED
b.
=>
AE = (5 x 9) / 4 = 11,25
AD = (3 x 9) / 4 = 6,75
12.
122 + 52 = BD2
BD2 = 169
BD = √169 = 13
∠A = ∠E = 90º
∠B = ∠B
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠C = ∠D)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek EBD
=>
BC = (18 x 13) / 12 = 19,5
CE = BC - BE = 19,5 - 12 = 7,5
13.
152 + 202 = AB2
AB2 = 625
AB = √625 = 25
∠A = ∠A
∠C12 = ∠D = 90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠B = ∠C)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek ACD
=>
CD = (20 x 15) / 25 = 12
b. AD = (20 x 20) / 25 = 16
BD = 25 - 16 = 9
14.
∠B = ∠E1 (i.v.m. F-hoeken)
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠C = ∠C)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek DEC
=>
AC = (30 x 24) / 20 = 36
AD = AC - CD = 36 - 24 = 12
BC = (30 x 21) / 20 = 31,5
BE = BC - CE = 31,5 - 21 = 10,5
15.
∠Q1 = ∠Q2 (overstaande hoeken)
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠T = ∠S)
Hieruit volgt dat: driehoek PQT ∼ driehoek RQS
=>
PT = (20 x 6) / 8 = 15
QT = (20 x 10) / 8 = 25
16.
∠A = ∠B1 = 90º
∠C = ∠C
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠D = ∠E1)
Hieruit volgt dat: driehoek ACD ∼ driehoek BCE
=>
AD = (21,3 x 1,75) / 1,3 = 28,7
Dus de hoogte van de boom is 28,7 meter.
17.
∠B = ∠C (gegeven rood bolletje)
∠C = ∠A (90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠F = ∠D)
Hieruit volgt dat: driehoek BCF ∼ driehoek CAD
=>
CD = (10 x 8) / 6 = 13,3
Dus de lengte ladder CD is 13,3 meter.
18.
∠F = ∠E (90 graden)
∠FDA = ∠BAE
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk)
Hieruit volgt dat: driehoek ADF ∼ driehoek BAE
=>
AF = (1,2 x 1,5) / 2,5 = 0,72
Pythagoras:
AF2 + DF2 = AD2
DF2 = 0,9216
DF = √0,9216 = 0,96 m
Dus de hoogte van punt D is 96 cm.
b. C is 2,46 meter.
Tip:
Bereken AB met de Stelling van Pythagoras: AC2 + BC2 = AB2
AB = 5
a.Bereken AB met de Stelling van Pythagoras: AC2 + BC2 = AB2
AB = 5
∠A = ∠A
∠C1 = ∠D = 90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk!)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek AED
b.
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek AED | AE | ED | AD |
| 5 | 4 | 3 |
| AE | 9 | AD |
AE = (5 x 9) / 4 = 11,25
AD = (3 x 9) / 4 = 6,75
12.
Tip:
Bereken BD met de Stelling van Pythagoras: BE2 + DE2 = BD2
BD = √169 = 13
BE2 + DE2 = BD2Bereken BD met de Stelling van Pythagoras: BE2 + DE2 = BD2
BD = √169 = 13
122 + 52 = BD2
BD2 = 169
BD = √169 = 13
∠A = ∠E = 90º
∠B = ∠B
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠C = ∠D)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek EBD
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek EBD | EB | BD | ED |
| 18 | BC | AC |
| 12 | 13 | 5 |
BC = (18 x 13) / 12 = 19,5
CE = BC - BE = 19,5 - 12 = 7,5
13.
Tip:
Bereken eerst AB met de Stelling van Pythagoras
a. BC2 + AC2 = AB2Bereken eerst AB met de Stelling van Pythagoras
152 + 202 = AB2
AB2 = 625
AB = √625 = 25
∠A = ∠A
∠C12 = ∠D = 90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠B = ∠C)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek ACD
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek ACD | AC | CD | AD |
| 25 | 15 | 20 |
| 20 | CD | AD |
CD = (20 x 15) / 25 = 12
b. AD = (20 x 20) / 25 = 16
BD = 25 - 16 = 9
14.
Tip:
Zoek de F-hoeken
∠A = ∠D1 (i.v.m. F-hoeken)Zoek de F-hoeken
∠B = ∠E1 (i.v.m. F-hoeken)
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠C = ∠C)
Hieruit volgt dat: driehoek ABC ∼ driehoek DEC
| driehoek ABC | AB | BC | AC |
| driehoek DEC | DE | EC | DC |
| 30 | BC | AC |
| 20 | 21 | 24 |
AC = (30 x 24) / 20 = 36
AD = AC - CD = 36 - 24 = 12
BC = (30 x 21) / 20 = 31,5
BE = BC - CE = 31,5 - 21 = 10,5
15.
Tip:
Bereken QS met de Stelling van Pythagoras: QR2 + RS2 = QS2
QS = 10
∠P = ∠R = 90ºBereken QS met de Stelling van Pythagoras: QR2 + RS2 = QS2
QS = 10
∠Q1 = ∠Q2 (overstaande hoeken)
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠T = ∠S)
Hieruit volgt dat: driehoek PQT ∼ driehoek RQS
| driehoek PQT | PQ | QT | PT |
| driehoek RQS | RQ | QS | RS |
| 20 | QT | PT |
| 8 | 10 | 6 |
PT = (20 x 6) / 8 = 15
QT = (20 x 10) / 8 = 25
16.
Tip:
∠D = ∠E1 vanwege een F-hoek
Driehoek ACD ∼ driehoek BCE want:∠D = ∠E1 vanwege een F-hoek
∠A = ∠B1 = 90º
∠C = ∠C
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠D = ∠E1)
Hieruit volgt dat: driehoek ACD ∼ driehoek BCE
| driehoek ACD | AC | CD | AD |
| driehoek BCE | BC | CE | BE |
| 21,3 | CD | AD |
| 1,3 | CE | 1,75 |
AD = (21,3 x 1,75) / 1,3 = 28,7
Dus de hoogte van de boom is 28,7 meter.
17.
Tip:
Leer momentje: Driehoek BEC is gelijkbenig omdat de basishoeken gelijk zijn. Dus BE = CE.
Driehoek BCF ∼ driehoek CAD want:Leer momentje: Driehoek BEC is gelijkbenig omdat de basishoeken gelijk zijn. Dus BE = CE.
∠B = ∠C (gegeven rood bolletje)
∠C = ∠A (90º
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk: ∠F = ∠D)
Hieruit volgt dat: driehoek BCF ∼ driehoek CAD
| driehoek BCF | BC | CF | BF |
| driehoek CAD | CA | AD | CD |
| 6 | CF | 10 |
| 8 | AD | CD |
CD = (10 x 8) / 6 = 13,3
Dus de lengte ladder CD is 13,3 meter.
18.
Tip:
Bereken eerst AF en dan DF met de stelling van Pythagoras. Als je DF weet, weet je ook de hoogte van D.
Driehoek ADF ∼ driehoek BAE want:Bereken eerst AF en dan DF met de stelling van Pythagoras. Als je DF weet, weet je ook de hoogte van D.
∠F = ∠E (90 graden)
∠FDA = ∠BAE
(dus de 3e hoeken zijn ook gelijk)
Hieruit volgt dat: driehoek ADF ∼ driehoek BAE
| driehoek ADF | AD | DF | AF |
| driehoek BAE | BA | AE | BE |
| 1,2 | DF | AF |
| 2,5 | AE | 1,5 |
AF = (1,2 x 1,5) / 2,5 = 0,72
Pythagoras:
AF2 + DF2 = AD2
DF2 = 0,9216
DF = √0,9216 = 0,96 m
Dus de hoogte van punt D is 96 cm.
b. C is 2,46 meter.
Andere paragrafen:
2.1. Gelijkvormige driehoeken (1 t/m 18)
2.2. Snavel- en zandloperfiguren (19 t/m 35)
2.3. Hellingsgetal (36 t/m 41)
2.4. De tangens (42 t/m 57)
2.5. Berekeningen met de tangens (58 t/m 72)
2.1. Gelijkvormige driehoeken (1 t/m 18)
2.2. Snavel- en zandloperfiguren (19 t/m 35)
2.3. Hellingsgetal (36 t/m 41)
2.4. De tangens (42 t/m 57)
2.5. Berekeningen met de tangens (58 t/m 72)
Hoe maken wij onze video's?
Word ook lid!
Word ook lid!
Ook van ons:
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Een virtuele tour:
