TIP: Wil je ook toegang tot meer dan 16.000 video-uitwerkingen? Meld je dan snel aan! Klik hier...
|
|
|
|
|
Antwoorden 6.4 Pythagoras in de ruimte HAVO/VWO 2
Boek: Getal & Ruimte - De stelling van Pythagoras HAVO/VWO 2 (deel 2) opgaven 42 t/m 52, 2010Met de Stelling van Pythagoras kun je naast de schuine zijde in een rechthoekige driehoek, ook 1 van de rechthoekszijde berekenen.
Stel de Stelling op en vul in wat je weet. Daaruit volgt de ontbrekende zijde.
Met de omgekeerde Stelling van Pythagoras werk je precies omgekeerd. Alle 3 de zijden zijn dan gegeven en je moet dan vaststellen of de hoek recht is.
Er moet dan zowel links als rechts van het =-teken hetzelfde staan. Is dat het geval, dan is de hoek dus 90º.
Stel de Stelling op en vul in wat je weet. Daaruit volgt de ontbrekende zijde.
Met de omgekeerde Stelling van Pythagoras werk je precies omgekeerd. Alle 3 de zijden zijn dan gegeven en je moet dan vaststellen of de hoek recht is.
Er moet dan zowel links als rechts van het =-teken hetzelfde staan. Is dat het geval, dan is de hoek dus 90º.
42.
AB2 + BC2 = AC2
32 + 42 = AC2
AC2 = 9 + 16
AC2 = 25
AC = √25
AC = 5 cm
b.
Vierhoek ACGE is een rechthoek. De zijden zijn: 5 x 2 cm.
c.
AC2 + CG2 = AG2
52 + 22 = AG2
AG2 = 25 + 4
AG2 = 29
AG = √29
AG ≈ 5,39 cm
43.
AB2 + AD2 = BD2
52 + 32 = BD2
BD2 = 25 + 9
BD2 = 34
BD = √34
BD ≈ 5,83
BD2 + DH2 = BH2
34 + 32 = BH2
BH2 = 34 + 9
BH2 = 43
BH = √43
BH ≈ 6,6 cm
b.
Alle lichaamsdiagonalen in een balk of kubus zijn even lang.
44.
45.
32 + 22 = AC2
AC2 = 9 + 4
AC2 = 13
AC = √13
AC ≈ 3,6 m
AC2 + CG2 = AG2
13 + 2,52 = AG2
AG2 = 19,25
AG = √19,25
AG ≈ 4,39 m
Dus de maximale lengte van de mast (AG) die in het huisje past, is 4,39 meter.
De werkelijke mast is echter 4,5 meter.
Dus je moet er: 4,5 m - 4,39 m = 0,11 meter van afzagen. Dat is 11 cm.
46.
d12 = 36 + 16
d12 = 52
d1 = √52
d1 ≈ 7,21 m (draad links)
82 + 42 = d32
d32 = 64 + 16
d32 = 80
d3 = √80
d3 ≈ 8,94 m (draad rechts)
Nu de middelste draad d2:
AB2 + AD2 = BD2
82 + 62 = BD2
BD2 = 64 + 36
BD2 = 100
BD = √100
BD = 10 m
BD2 + DE2 = BE2
102 + 42 = BE2
BE2 = 100 + 16
BE2 = 116
BE = √116
BE ≈ 10,77 m (draad midden = d2)
Totale lengte van de draad is: d1 + d2 + d3 = √52 + √116 + √80 = 26,93 meter.
47.
102 + 102 = AC2
AC2 = 100 + 100
AC2 = 200
AC = √200
AC ≈ 14,14
Bereken nu AX (=a) in driehoek ACX:
AC2 + AX2 = CX2
200 + AX2 = 16,52
AX2 = 16,52 - 200
AX2 = 72,25
AX = √72,25
AX = 8,5 cm
Dus de hoogte van a is 8,5 cm.
48.
AB2 + BC2 = AC2
82 + 62 = AC2
AC2 = 64 + 36
AC2 = 100
AC = √100
AC = 10
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 10 = 5
b.
AS2 + ST2 = AT2
52 + ST2 = 132
ST2 = 169 - 25
ST2 = 144
ST = √144
ST = 12
49.
Bereken eerst FH in driehoek EFH.
EF2 + EH2 = FH2
42 + 42 = FH2
FH2 = 32
FH = √32
FH ≈ 5,66 cm
FH2 + FJ2 = HJ2
32 + 42 = HJ2
HJ2 = 48
HJ = √48
HJ ≈ 6,93 cm
Dus BH = HJ = √48 ≈ 6,93 cm.
b.
Als ∠BHJ rechthoekig is, dan moet gelden:
BH2 + HJ2 = BJ2 (is dat wel zo?)
48 + 48 =(?) 82
96 =(?) 64
Nee, je ziet dat de Stelling van Pythagoras niet geldt. Dus ∠BHJ is niet rechthoekig.
50.
AD2 + DH2 = AH2
42 + 32 = AH2
AH2 = 25
AH = √25
AH = 5
Bereken dan AP in driehoek AHP.
AH2 + HP2 = AP2
52 + 52 = AP2
AP2 = 50
AP = √50
AP ≈ 7,07
We hebben nu een "mogelijke" Pythagoras driehoek ABP.
Dan moet dus gelden:
AP2 + BP2 = AB2 (Is dat wel zo?)
(√50)2 + (√50)2 = 102 (?)
50 + 50 = 100 (?)
100 = 100
Ja, dat klopt zeker! Dus dan moet de hoek wel 90º zijn.
Dus driehoek ABP is rechthoekig.
51.
EF2 = 122 + 32
EF2 = 144 + 9
EF2 = 153
EF = √153
EF ≈ 12,37 m
FG2 = 122 + 12
FG2 = 144 + 1
FG2 = 145
FG = √145
FG ≈ 12,04 m
GH2 = 122 + 32
GH2 = 144 + 9
GH2 = 153
GH = √153
GH ≈ 12,37 m
EH2 = 122 + 12
EH2 = 144 + 1
EH2 = 145
EH = √145
EH ≈ 12,04 m
Dus omtrek EFGH = √153 + √145 + √153 + √145 = 48,82 meter. Dat is dus 488 dm.
b.
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 122 + 122
AC2 = 144 + 144
AC2 = 288
AC = √288
AC ≈ 16,97 m
Nu de vraag of geldt: EF2 + FG2 = EG2 (?)
(√153)2 + (√145)2 = (√292)2 (?)
153 + 145 = 292 (?)
298 = 292 (?)
Nee, dat klopt niet. Dus ∠EFG is niet recht. Dus kan EFGH nooit een rechthoek zijn.
Tip:
AG is een lichaamsdiagonaal.
Een diagonaalvlak is een rechthoek.
a. AG is een lichaamsdiagonaal.
Een diagonaalvlak is een rechthoek.
AB2 + BC2 = AC2
32 + 42 = AC2
AC2 = 9 + 16
AC2 = 25
AC = √25
AC = 5 cm
b.
Vierhoek ACGE is een rechthoek. De zijden zijn: 5 x 2 cm.
c.
AC2 + CG2 = AG2
52 + 22 = AG2
AG2 = 25 + 4
AG2 = 29
AG = √29
AG ≈ 5,39 cm
43.
Tip:
Bereken eerst BD met Pythagoras in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken daarna BH met Pythagoras in driehoek BDH. Bedenk: ∠BDH = 90º
a. Bereken eerst BD met Pythagoras in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken daarna BH met Pythagoras in driehoek BDH. Bedenk: ∠BDH = 90º
AB2 + AD2 = BD2
52 + 32 = BD2
BD2 = 25 + 9
BD2 = 34
BD = √34
BD ≈ 5,83
BD2 + DH2 = BH2
34 + 32 = BH2
BH2 = 34 + 9
BH2 = 43
BH = √43
BH ≈ 6,6 cm
b.
Alle lichaamsdiagonalen in een balk of kubus zijn even lang.
44.
Tip:
Bij a:
Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras BD in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras DF in driehoek FBD. Bedenk: ∠FBD = 90º
Bij b:
Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras AH in driehoek ADH. Bedenk: ∠ADH = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras AP in driehoek PHA. Bedenk: ∠PHA = 90º
Bij a:
Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras BD in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras DF in driehoek FBD. Bedenk: ∠FBD = 90º
Bij b:
Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras AH in driehoek ADH. Bedenk: ∠ADH = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras AP in driehoek PHA. Bedenk: ∠PHA = 90º
|
a. AB2 + AD2 = BD2 42 + 42 = BD2 BD2 = 16 + 16 BD2 = 32 BD = √32 BD ≈ 5,66 cm BD2 + BF2 = DF2 32 + 42 = DF2 DF2 = 32 + 16 DF2 = 48 DF = √48 DF ≈ 6,9 cm |
b. AD2 + DH2 = AH2 42 + 42 = AH2 AH2 = 16 + 16 AH2 = 32 AH = √32 AH ≈ 5,66 cm AH2 + HP2 = AP2 32 + 12 = AP2 AP2 = 32 + 1 AP2 = 33 AP = √33 AP ≈ 5,7 cm |
45.
Tip:
De maximale lengte van de mast is de lengte van de lichaamsdiagonaal AG.
Bereken eerst AC.
Bereken dan AG.
AB2 + BC2 = AC2De maximale lengte van de mast is de lengte van de lichaamsdiagonaal AG.
Bereken eerst AC.
Bereken dan AG.
32 + 22 = AC2
AC2 = 9 + 4
AC2 = 13
AC = √13
AC ≈ 3,6 m
AC2 + CG2 = AG2
13 + 2,52 = AG2
AG2 = 19,25
AG = √19,25
AG ≈ 4,39 m
Dus de maximale lengte van de mast (AG) die in het huisje past, is 4,39 meter.
De werkelijke mast is echter 4,5 meter.
Dus je moet er: 4,5 m - 4,39 m = 0,11 meter van afzagen. Dat is 11 cm.
46.
Tip:
Draad links en rechts (d1 en d3) kunnen met de Stelling van Pythagoras.
De draad in het midden (d2) doe je met 2x de Stelling van Pythagoras.
Bereken eerst de gronddiagonaal BD.
62 + 42 = d12Draad links en rechts (d1 en d3) kunnen met de Stelling van Pythagoras.
De draad in het midden (d2) doe je met 2x de Stelling van Pythagoras.
Bereken eerst de gronddiagonaal BD.
d12 = 36 + 16
d12 = 52
d1 = √52
d1 ≈ 7,21 m (draad links)
82 + 42 = d32
d32 = 64 + 16
d32 = 80
d3 = √80
d3 ≈ 8,94 m (draad rechts)
Nu de middelste draad d2:
AB2 + AD2 = BD2
82 + 62 = BD2
BD2 = 64 + 36
BD2 = 100
BD = √100
BD = 10 m
BD2 + DE2 = BE2
102 + 42 = BE2
BE2 = 100 + 16
BE2 = 116
BE = √116
BE ≈ 10,77 m (draad midden = d2)
Totale lengte van de draad is: d1 + d2 + d3 = √52 + √116 + √80 = 26,93 meter.
47.
Tip:
Bereken eerst AC. Bereken dan AX in de rechthoekige driehoek ACX.
Als je AX weet, dan weet je ook de lengte van a.
CX is de pen. Ik heb de kubus in mijn schets een beetje gedraaid.
AB2 + BC2 = AC2Bereken eerst AC. Bereken dan AX in de rechthoekige driehoek ACX.
Als je AX weet, dan weet je ook de lengte van a.
CX is de pen. Ik heb de kubus in mijn schets een beetje gedraaid.
102 + 102 = AC2
AC2 = 100 + 100
AC2 = 200
AC = √200
AC ≈ 14,14
Bereken nu AX (=a) in driehoek ACX:
AC2 + AX2 = CX2
200 + AX2 = 16,52
AX2 = 16,52 - 200
AX2 = 72,25
AX = √72,25
AX = 8,5 cm
Dus de hoogte van a is 8,5 cm.
48.
Tip:
AS = 1/2AC
Bij a: Bereken eerst AC met de Stelling van Pythagoras.
Bij b: ∠AST is 90º.
a.AS = 1/2AC
Bij a: Bereken eerst AC met de Stelling van Pythagoras.
Bij b: ∠AST is 90º.
AB2 + BC2 = AC2
82 + 62 = AC2
AC2 = 64 + 36
AC2 = 100
AC = √100
AC = 10
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 10 = 5
b.
AS2 + ST2 = AT2
52 + ST2 = 132
ST2 = 169 - 25
ST2 = 144
ST = √144
ST = 12
49.
Tip:
BH en HJ zijn even lang. Het zijn 2 lichaamsdiagonalen in gelijke kubussen.
Als ∠BHJ rechthoekig is, dan moet de Stelling van Pythagoras kloppen in driehoek BHJ.
a.BH en HJ zijn even lang. Het zijn 2 lichaamsdiagonalen in gelijke kubussen.
Als ∠BHJ rechthoekig is, dan moet de Stelling van Pythagoras kloppen in driehoek BHJ.
Bereken eerst FH in driehoek EFH.
EF2 + EH2 = FH2
42 + 42 = FH2
FH2 = 32
FH = √32
FH ≈ 5,66 cm
FH2 + FJ2 = HJ2
32 + 42 = HJ2
HJ2 = 48
HJ = √48
HJ ≈ 6,93 cm
Dus BH = HJ = √48 ≈ 6,93 cm.
b.
Als ∠BHJ rechthoekig is, dan moet gelden:
BH2 + HJ2 = BJ2 (is dat wel zo?)
48 + 48 =(?) 82
96 =(?) 64
Nee, je ziet dat de Stelling van Pythagoras niet geldt. Dus ∠BHJ is niet rechthoekig.
50.
Tip:
Omdat P het midden is van GH weten we dus: AP = BP.
Bereken eerst AH en dan AP.
Kijk daarna of de Stelling van Pythagoras geldt in driehoek ABP.
Bereken eerst AH in driehoek ADH.Omdat P het midden is van GH weten we dus: AP = BP.
Bereken eerst AH en dan AP.
Kijk daarna of de Stelling van Pythagoras geldt in driehoek ABP.
AD2 + DH2 = AH2
42 + 32 = AH2
AH2 = 25
AH = √25
AH = 5
Bereken dan AP in driehoek AHP.
AH2 + HP2 = AP2
52 + 52 = AP2
AP2 = 50
AP = √50
AP ≈ 7,07
We hebben nu een "mogelijke" Pythagoras driehoek ABP.
Dan moet dus gelden:
AP2 + BP2 = AB2 (Is dat wel zo?)
(√50)2 + (√50)2 = 102 (?)
50 + 50 = 100 (?)
100 = 100
Ja, dat klopt zeker! Dus dan moet de hoek wel 90º zijn.
Dus driehoek ABP is rechthoekig.
51.
Tip:
Bij a: Omtrek EFGH is: EF + FG + GH + EH
Gebruik dus 4x de Stelling van Pythagoras. Maak dus 4 rechthoekige driehoeken.
Bij b: Neem driehoek EFG en bepaal of hoek EFG 90º is. Bedenk: EG = √292.
a.Bij a: Omtrek EFGH is: EF + FG + GH + EH
Gebruik dus 4x de Stelling van Pythagoras. Maak dus 4 rechthoekige driehoeken.
Bij b: Neem driehoek EFG en bepaal of hoek EFG 90º is. Bedenk: EG = √292.
EF2 = 122 + 32
EF2 = 144 + 9
EF2 = 153
EF = √153
EF ≈ 12,37 m
FG2 = 122 + 12
FG2 = 144 + 1
FG2 = 145
FG = √145
FG ≈ 12,04 m
GH2 = 122 + 32
GH2 = 144 + 9
GH2 = 153
GH = √153
GH ≈ 12,37 m
EH2 = 122 + 12
EH2 = 144 + 1
EH2 = 145
EH = √145
EH ≈ 12,04 m
Dus omtrek EFGH = √153 + √145 + √153 + √145 = 48,82 meter. Dat is dus 488 dm.
b.
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 122 + 122
AC2 = 144 + 144
AC2 = 288
AC = √288
AC ≈ 16,97 m
Nu de vraag of geldt: EF2 + FG2 = EG2 (?)
(√153)2 + (√145)2 = (√292)2 (?)
153 + 145 = 292 (?)
298 = 292 (?)
Nee, dat klopt niet. Dus ∠EFG is niet recht. Dus kan EFGH nooit een rechthoek zijn.
52.
AP2 + MP2 = AM2
22 + 4,852 = AM2
AM2 = 27,5225
AM = √27,5225
AM ≈ 5,25 m
AM2 + MT2 = AT2
27,5225 + 3,52 = AT2
AT2 = 39,7725
AT = √39,7725
AT ≈ 6,31 m
b.
AP2 + PT2 = AT2
22 + PT2 = 39,7725
PT2 = 35,7725
PT = √35,7725
PT ≈ 5,98 m (hoogte driehoek)
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x basis x hoogte
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x AB x PT
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x 4 x 5,98
Oppervlakte driehoek ABT = 11,96 m2
Dus de oppervlakte van het hele dak is: 8 x 11,96 m2 = 95,68 m2
Tip:
AB = 32/8 = 4 meter
Driehoek ABM ligt horizontaal. M ligt recht onder T.
TM = 6 - 2,5 = 3,5
AF = 9,70 dus PM = 1/2 x 9,70 = 4,85
a.AB = 32/8 = 4 meter
Driehoek ABM ligt horizontaal. M ligt recht onder T.
TM = 6 - 2,5 = 3,5
AF = 9,70 dus PM = 1/2 x 9,70 = 4,85
AP2 + MP2 = AM2
22 + 4,852 = AM2
AM2 = 27,5225
AM = √27,5225
AM ≈ 5,25 m
AM2 + MT2 = AT2
27,5225 + 3,52 = AT2
AT2 = 39,7725
AT = √39,7725
AT ≈ 6,31 m
b.
AP2 + PT2 = AT2
22 + PT2 = 39,7725
PT2 = 35,7725
PT = √35,7725
PT ≈ 5,98 m (hoogte driehoek)
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x basis x hoogte
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x AB x PT
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x 4 x 5,98
Oppervlakte driehoek ABT = 11,96 m2
Dus de oppervlakte van het hele dak is: 8 x 11,96 m2 = 95,68 m2
Andere paragrafen:
6.1. Rechthoekige driehoeken (1 t/m 9)
6.2. Het berekenen van schuine zijden (10 t/m 21)
6.3. Berekeningen met de stelling van Pythagoras (22 t/m 41)
6.4. Pythagoras in de ruimte (42 t/m 52)
6.1. Rechthoekige driehoeken (1 t/m 9)
6.2. Het berekenen van schuine zijden (10 t/m 21)
6.3. Berekeningen met de stelling van Pythagoras (22 t/m 41)
6.4. Pythagoras in de ruimte (42 t/m 52)
Hoe maken wij onze video's?
Word ook lid!
Word ook lid!
Ook van ons:
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Een virtuele tour:
