Wiskunde.net

Helaas geen video...

We hebben op dit moment (nog) geen video van deze opgave. Daarom hieronder nu even het antwoord om je toch op weg te helpen!

Antwoord / uitwerking:

a) We moeten aantonen dat:
\( F(x)=x^3e^x \) een primitieve is van \( f(x)=(x^3+3x^2)e^x \)

Een functie is een primitieve als de afgeleide precies de gegeven functie oplevert.

Dus we berekenen de afgeleide van:
\( F(x)=x^3e^x \)

Hier gebruiken we de productregel:
\( (uv)'=u'v+uv' \)

Neem:
\( u=x^3 \)
en:
\( v=e^x \)

Dan geldt:
\( u'=3x^2 \)
en:
\( v'=e^x \)

Dus:
\( F'(x)=3x^2e^x+x^3e^x \)

Haal \( e^x \) buiten haakjes:
\( F'(x)=(3x^2+x^3)e^x \)

Schrijf de termen in de volgorde van de opgave:
\( F'(x)=(x^3+3x^2)e^x \)

Dit is precies:
\( f(x)=(x^3+3x^2)e^x \)

Dus:
\( F'(x)=f(x) \)

Conclusie:
\( F(x)=x^3e^x \) is inderdaad een primitieve van \( f(x)=(x^3+3x^2)e^x \).

b) We moeten aantonen dat:
\( G(x)=\frac{1}{2}x^2-x+2\ln(x+1) \) een primitieve is van \( g(x)=\frac{x^2+1}{x+1} \)

Ook hier berekenen we de afgeleide van de gegeven functie.

Gegeven is:
\( G(x)=\frac{1}{2}x^2-x+2\ln(x+1) \)

Differentieer term voor term.

De afgeleide van:
\( \frac{1}{2}x^2 \)
is:
\( x \)

De afgeleide van:
\( -x \)
is:
\( -1 \)

De afgeleide van:
\( 2\ln(x+1) \)
is:
\( \frac{2}{x+1} \)

Dus:
\( G'(x)=x-1+\frac{2}{x+1} \)

Nu schrijven we dit als een breuk.

Maak van \( x-1 \) een breuk met noemer \( x+1 \):
\( x-1=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \)

Dus:
\( G'(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}+\frac{2}{x+1} \)

Samenvoegen geeft:
\( G'(x)=\frac{(x-1)(x+1)+2}{x+1} \)

Werk de haakjes uit:
\( (x-1)(x+1)=x^2-1 \)

Dus:
\( G'(x)=\frac{x^2-1+2}{x+1} \)

Vereenvoudig de teller:
\( G'(x)=\frac{x^2+1}{x+1} \)

Dit is precies:
\( g(x)=\frac{x^2+1}{x+1} \)

Dus:
\( G'(x)=g(x) \)

Conclusie:
\( G(x)=\frac{1}{2}x^2-x+2\ln(x+1) \) is inderdaad een primitieve van \( g(x)=\frac{x^2+1}{x+1} \).

Extra uitleg:
Een primitieve controleer je door te differentiëren.
Als de afgeleide van de gegeven functie gelijk is aan de functie die erbij staat, dan is de gegeven functie inderdaad een primitieve.

Belangrijke regels in deze opgave:
- De afgeleide van \( x^n \) is \( nx^{n-1} \)
- De afgeleide van \( e^x \) is \( e^x \)
- De afgeleide van \( \ln(x+1) \) is \( \frac{1}{x+1} \)
- Bij een product gebruik je de productregel: \( (uv)'=u'v+uv' \)