Wiskunde.net

Video / Tekstuele uitwerking...

Antwoord / uitwerking:

Gegeven is:
\( f(x)=4x-\ln(x) \)

We zoeken een primitieve \( F(x) \).

Primitiveer beide termen afzonderlijk.

Voor de eerste term geldt:
\( \int 4x\,dx=2x^2 \)

Voor de tweede term gebruiken we de formule:
\( \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x \)

Dus:
\( \int -\ln(x)\,dx=-(x\ln(x)-x) \)

Werk de min uit:
\( \int -\ln(x)\,dx=-x\ln(x)+x \)

Een primitieve van \( f \) is daarom:
\( F(x)=2x^2-x\ln(x)+x+C \)

De grafiek van deze primitieve gaat door het punt \( (1,7) \).

Dat betekent dat:
\( F(1)=7 \)

Vul \( x=1 \) in:
\( 2\cdot1^2-1\cdot\ln(1)+1+C=7 \)

Omdat:
\( \ln(1)=0 \)

krijgen we:
\( 2+0+1+C=7 \)

Dus:
\( 3+C=7 \)

Trek 3 van beide kanten af:
\( C=4 \)

De gevraagde primitieve is daarom:
\( F(x)=2x^2-x\ln(x)+x+4 \)

Controle:
\( F'(x)=4x-(\ln(x)+1)+1 \)

Dus:
\( F'(x)=4x-\ln(x) \)

Dit is precies de gegeven functie \( f(x) \).

Conclusie:
\( F(x)=2x^2-x\ln(x)+x+4 \)