Wiskunde.net

Video / Tekstuele uitwerking...

Antwoord / uitwerking:

a)

Gegeven is:
\( f(x)=\frac{2x+6}{x^2} \)

Schrijf de breuk eerst als losse termen:
\( f(x)=\frac{2x}{x^2}+\frac{6}{x^2} \)

Vereenvoudig:
\( f(x)=2x^{-1}+6x^{-2} \)

Primitiveer term voor term.

\( \int 2x^{-1}\,dx = 2\ln|x| \)

\( \int 6x^{-2}\,dx = -6x^{-1} \)

Dus een primitieve is:
\( F(x)=2\ln|x|-\frac{6}{x}+C \)

---

b)

Gegeven is:
\( f(x)=3\cdot2^x \)

We gebruiken de regel:
\( \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln(a)}+C \)

Dus:
\( F(x)=3\cdot\frac{2^x}{\ln(2)}+C \)

Of:
\( F(x)=\frac{3\cdot2^x}{\ln(2)}+C \)

---

c)

Gegeven is:
\( f(x)=6e^x+x^2 \)

Primitiveer beide termen afzonderlijk.

\( \int 6e^x\,dx=6e^x \)

\( \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3} \)

Dus een primitieve is:
\( F(x)=6e^x+\frac{x^3}{3}+C \)

---

d)

Gegeven is:
\( f(x)=\ln(x^5) \)

Gebruik de logaritmeregel:
\( \ln(x^5)=5\ln(x) \)

Dus:
\( f(x)=5\ln(x) \)

We gebruiken de formule:
\( \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x \)

Daarom:
\( F(x)=5(x\ln(x)-x)+C \)

Werk eventueel uit:
\( F(x)=5x\ln(x)-5x+C \)

---

e)

Gegeven is:
\( f(x)={}^{2}\log(4x) \)

Dit is een logaritme met grondtal 2.

Gebruik de regel:
\( {}^{2}\log(a)=\frac{\ln(a)}{\ln(2)} \)

Dus:
\( f(x)=\frac{\ln(4x)}{\ln(2)} \)

Omdat \( \ln(4x)=\ln(4)+\ln(x) \):
\( f(x)=\frac{\ln(4)+\ln(x)}{\ln(2)} \)

Primitiveer term voor term:

\( \int \frac{\ln(4)}{\ln(2)}\,dx=\frac{\ln(4)}{\ln(2)}x \)

Omdat \( \ln(4)=2\ln(2) \):
\( \frac{\ln(4)}{\ln(2)}=2 \)

Dus:
\( \int \frac{\ln(4)}{\ln(2)}\,dx=2x \)

Verder:
\( \int \frac{\ln(x)}{\ln(2)}\,dx=\frac{x\ln(x)-x}{\ln(2)} \)

Dus een primitieve is:
\( F(x)=2x+\frac{x\ln(x)-x}{\ln(2)}+C \)

---

f)

Gegeven is:
\( f(x)=3\sin(x)+2\cos(x) \)

We gebruiken de regels:
\( \int \sin(x)\,dx=-\cos(x) \)

en:
\( \int \cos(x)\,dx=\sin(x) \)

Dus:
\( \int 3\sin(x)\,dx=-3\cos(x) \)

en:
\( \int 2\cos(x)\,dx=2\sin(x) \)

Daarom is een primitieve:
\( F(x)=-3\cos(x)+2\sin(x)+C \)

Samenvatting:

a) \( F(x)=2\ln|x|-\frac{6}{x}+C \)

b) \( F(x)=\frac{3\cdot2^x}{\ln(2)}+C \)

c) \( F(x)=6e^x+\frac{x^3}{3}+C \)

d) \( F(x)=5x\ln(x)-5x+C \)

e) \( F(x)=2x+\frac{x\ln(x)-x}{\ln(2)}+C \)

f) \( F(x)=-3\cos(x)+2\sin(x)+C \)