TIP: Wil je ook toegang tot meer dan 16.000 video-uitwerkingen? Meld je dan snel aan! Klik hier...
|
|
|
|
|
Antwoorden 6.1 Rechthoekige driehoeken VWO 2
Boek: Getal & Ruimte - De stelling van Pythagoras VWO 2 (deel 2) opgaven 1 t/m 9, 2009De stelling van Pythagoras is als volgt:
In elke rechthoekige driehoek geldt dat: de ene rechthoekszijde in het kwadraat + de andere rechthoekszijde in het kwadraat is gelijk aan de schuine zijde in het kwadraat. Meer wiskundig: a2 + b2 = c2
Bedenk wel dat de Stelling van Pythagoras alleen geldt in driehoeken die een rechte hoek hebben.
De kwadraten in de stelling staan voor de vierkanten die je op elke zijde kunt plaatsen.
De som van de oppervlakten van de twee kleinste vierkanten is dan gelijk aan de oppervlakte van het vierkant aan de schuine zijde.
In elke rechthoekige driehoek geldt dat: de ene rechthoekszijde in het kwadraat + de andere rechthoekszijde in het kwadraat is gelijk aan de schuine zijde in het kwadraat. Meer wiskundig: a2 + b2 = c2
Bedenk wel dat de Stelling van Pythagoras alleen geldt in driehoeken die een rechte hoek hebben.
De kwadraten in de stelling staan voor de vierkanten die je op elke zijde kunt plaatsen.
De som van de oppervlakten van de twee kleinste vierkanten is dan gelijk aan de oppervlakte van het vierkant aan de schuine zijde.
1.
b. De oppervlakten zijn: 9 en 16 en 25.
c. 9 + 16 = 25
2.
b. 50 mm2 + 17 mm2 = 67 mm2
c. ? + 120 mm2 = 140 mm2. Dus ? is gelijk aan 20 mm2.
d. ? + 30 mm2 = 72 mm2. Dus ? is gelijk aan 42 mm2.
3.
Vierkant PQRS heeft steeds als zijde: (a + b).
Oppervlakte vierkant is: zijde2.
Dus opp(PQRS) = (a + b)⋅(a + b) = (a + b)2
b.
opp(PQRS) = 4 ⋅ opp(driehoek) + opp(III)
opp(PQRS) = 4 ⋅ ½ ⋅ a ⋅ b + c2
c.
Stel de oppervlakten van opgave a. en b. aan elkaar gelijk.
Dus (a + b)2 = 4 ⋅ ½ ⋅ a ⋅ b + c2
Uitwerken levert dit:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Nu links en rechts -2ab via de balansmethode levert:
a2 + b2 = c2
d.
a2 hoort bij II.
b2 hoort bij I.
c2 hoort bij III.
Dus vanuit opgave c. volgt: I + II = III
4.
b. √83 ≈ 9,1 mm. Dat is 0,9 cm.
c. √600 ≈ 24,5 dm. Dat is 245 cm.
5.
Opp (I) = 1,62 = 2,56 cm2
Opp (II) = 2,42 = 5,76 cm2
Opp (III) = Opp (I) + Opp (II) = 2,56 + 5,76 = 8,32 cm2
b. BC = √ 8,32 ≈ 2,9 cm
6.
b. PR2 + QR2 = PQ2
c. KL2 + LM2 = KM2
7.
b. BC2 + BD2 = CD2
8.
b. AB2 + BC2 = AC2
AD2 + BD2 = AB2
BD2 + CD2 = BC2
9.
Driehoek ABD: AB2 + AD2 = BD2
Tip:
De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan de zijde in het kwadraat.
a. Het is een rechthoekige driehoek.De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan de zijde in het kwadraat.
b. De oppervlakten zijn: 9 en 16 en 25.
c. 9 + 16 = 25
2.
Tip:
De som van de oppervlakten van de twee kleinste vierkanten is gelijk aan de oppervlakte van het grootste vierkant.
a. 90 mm2 + 35 mm2 = 125 mm2De som van de oppervlakten van de twee kleinste vierkanten is gelijk aan de oppervlakte van het grootste vierkant.
b. 50 mm2 + 17 mm2 = 67 mm2
c. ? + 120 mm2 = 140 mm2. Dus ? is gelijk aan 20 mm2.
d. ? + 30 mm2 = 72 mm2. Dus ? is gelijk aan 42 mm2.
3.
Tip:
oppervlakte driehoek = ½ x basis x hoogte
a. oppervlakte driehoek = ½ x basis x hoogte
Vierkant PQRS heeft steeds als zijde: (a + b).
Oppervlakte vierkant is: zijde2.
Dus opp(PQRS) = (a + b)⋅(a + b) = (a + b)2
b.
opp(PQRS) = 4 ⋅ opp(driehoek) + opp(III)
opp(PQRS) = 4 ⋅ ½ ⋅ a ⋅ b + c2
c.
Stel de oppervlakten van opgave a. en b. aan elkaar gelijk.
Dus (a + b)2 = 4 ⋅ ½ ⋅ a ⋅ b + c2
Uitwerken levert dit:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Nu links en rechts -2ab via de balansmethode levert:
a2 + b2 = c2
d.
a2 hoort bij II.
b2 hoort bij I.
c2 hoort bij III.
Dus vanuit opgave c. volgt: I + II = III
4.
Tip:
Een vierkant met oppervlakte a heeft zijde √a.
Dus een vierkant met oppervlakte gelijk aan 9 heeft een zijde van √9. En dat is dus gelijk aan 3.
En dat klopt, want 3 x 3 = 9
a. √8,3 ≈ 2,9 cm.Een vierkant met oppervlakte a heeft zijde √a.
Dus een vierkant met oppervlakte gelijk aan 9 heeft een zijde van √9. En dat is dus gelijk aan 3.
En dat klopt, want 3 x 3 = 9
b. √83 ≈ 9,1 mm. Dat is 0,9 cm.
c. √600 ≈ 24,5 dm. Dat is 245 cm.
5.
Tip:
Neem voor lengte BC de wortel uit de oppervlakte van vierkant III.
a.Neem voor lengte BC de wortel uit de oppervlakte van vierkant III.
Opp (I) = 1,62 = 2,56 cm2
Opp (II) = 2,42 = 5,76 cm2
Opp (III) = Opp (I) + Opp (II) = 2,56 + 5,76 = 8,32 cm2
b. BC = √ 8,32 ≈ 2,9 cm
6.
Tip:
De ene rechthoekszijde in het kwadraat + de andere rechthoekszijde in het kwadraat is gelijk aan de schuine zijde in het kwadraat.
a. DE2 + DF2 = EF2De ene rechthoekszijde in het kwadraat + de andere rechthoekszijde in het kwadraat is gelijk aan de schuine zijde in het kwadraat.
b. PR2 + QR2 = PQ2
c. KL2 + LM2 = KM2
7.
Tip:
Maak een schets. Dan zie je het beter.
a. GI2 + HI2 = GH2Maak een schets. Dan zie je het beter.
b. BC2 + BD2 = CD2
8.
Tip:
AB ligt horizontaal. Maar is wel de schuine zijde van driehoek ABD.
BC ligt verticaal. Maar is wel de schuine zijde van driehoek BCD.
a. Driehoeken ABC, ABD, BCDAB ligt horizontaal. Maar is wel de schuine zijde van driehoek ABD.
BC ligt verticaal. Maar is wel de schuine zijde van driehoek BCD.
b. AB2 + BC2 = AC2
AD2 + BD2 = AB2
BD2 + CD2 = BC2
9.
Tip:
Driehoek ABE is NIET rechthoekig!
Driehoek ABC: AB2 + BC2 = AC2 Driehoek ABE is NIET rechthoekig!
Driehoek ABD: AB2 + AD2 = BD2
Andere paragrafen:
6.1. Rechthoekige driehoeken (1 t/m 9)
6.2. Het berekenen van schuine zijden (10 t/m 21)
6.3. Berekeningen met de stelling van Pythagoras (22 t/m 37)
6.4. Pythagoras in de ruimte (38 t/m 48)
6.5. Berekeningen in rechthoekige driehoeken (49 t/m 60)
6.6. Gemengde opgaven (61 t/m 66)
6.1. Rechthoekige driehoeken (1 t/m 9)
6.2. Het berekenen van schuine zijden (10 t/m 21)
6.3. Berekeningen met de stelling van Pythagoras (22 t/m 37)
6.4. Pythagoras in de ruimte (38 t/m 48)
6.5. Berekeningen in rechthoekige driehoeken (49 t/m 60)
6.6. Gemengde opgaven (61 t/m 66)
Hoe maken wij onze video's?
Word ook lid!
Word ook lid!
Ook van ons:
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Een virtuele tour:
