TIP: Wil je ook toegang tot meer dan 16.000 video-uitwerkingen? Meld je dan snel aan! Klik hier...
|
|
|
|
|
Antwoorden 4.6 Pythagoras in de ruimte HAVO/VWO 2
Boek: Getal & Ruimte - De stelling van Pythagoras HAVO/VWO 2 (deel 1) opgaven 66 t/m 75, 2013, 10e editie
66.
AB2 + BC2 = AC2
32 + 42 = AC2
AC2 = 9 + 16
AC2 = 25
AC = √25
AC = 5 cm
b.
Vierhoek ACGE is een rechthoek. De zijden zijn: 5 x 2 cm.
c.
AC2 + CG2 = AG2
52 + 22 = AG2
AG2 = 25 + 4
AG2 = 29
AG = √29
AG ≈ 5,39 cm
67.
AB2 + AD2 = BD2
52 + 32 = BD2
BD2 = 25 + 9
BD2 = 34
BD = √34
BD ≈ 5,83
BD2 + DH2 = BH2
34 + 32 = BH2
BH2 = 34 + 9
BH2 = 43
BH = √43
BH ≈ 6,6 cm
b.
Alle lichaamsdiagonalen in een balk of kubus zijn even lang.
68.
42 + 42 = BD2
BD2 = 16 + 16
BD2 = 32
BD = √32
BD ≈ 5,66 cm
BD2 + BF2 = DF2
32 + 42 = DF2
DF2 = 32 + 16
DF2 = 48
DF = √48
DF ≈ 6,9 cm
69.
32 + 22 = AC2
AC2 = 9 + 4
AC2 = 13
AC = √13
AC ≈ 3,6 m
AC2 + CG2 = AG2
13 + 2,52 = AG2
AG2 = 19,25
AG = √19,25
AG ≈ 4,39 m
Dus de maximale lengte van de mast (AG) die in het huisje past, is 4,39 meter.
De werkelijke mast is echter 4,5 meter.
Dus je moet er: 4,5 m - 4,39 m = 0,11 meter van afzagen. Dat is 11 cm.
70.
d12 = 36 + 16
d12 = 52
d1 = √52
d1 ≈ 7,21 m (draad links)
82 + 42 = d32
d32 = 64 + 16
d32 = 80
d3 = √80
d3 ≈ 8,94 m (draad rechts)
Nu de middelste draad d2:
AB2 + AD2 = BD2
82 + 62 = BD2
BD2 = 64 + 36
BD2 = 100
BD = √100
BD = 10 m
BD2 + DE2 = BE2
102 + 42 = BE2
BE2 = 100 + 16
BE2 = 116
BE = √116
BE ≈ 10,77 m (draad midden = d2)
Totale lengte van de draad is: d1 + d2 + d3 = √52 + √116 + √80 = 26,93 meter.
71.
AB2 + BC2 = AC2
82 + 62 = AC2
AC2 = 64 + 36
AC2 = 100
AC = √100
AC = 10
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 10 = 5
b.
AS2 + ST2 = AT2
52 + ST2 = 132
ST2 = 169 - 25
ST2 = 144
ST = √144
ST = 12
72.
352 + 352 = AC2
AC2 = 2450
AC = √2450
AC ≈ 49,50
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 49,50 = 24,75
AS2 + ST2 = AT2
24,752 + ST2 = 272
ST2 = 116,44
ST = √116,44
ST ≈ 10,79
Dus de hoogte van de piramide is 10,8 meter.
73.
102 + 102 = AC2
AC2 = 100 + 100
AC2 = 200
AC = √200
AC ≈ 14,14
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 14,14 = 7,07 meter
AS2 + ST2 = AT2
7,072 + ST2 = 122
ST2 = 122 - 7,072
ST2 = 94,02
ST = √94,02
ST ≈ 9,70
Dus de hoogte van de toren is: ST + 24 = 9,70 + 24 = 33,70 meter.
Afgerond op gehelen: 34 meter.
74.
AD2 + DH2 = AH2
42 + 32 = AH2
AH2 = 25
AH = √25
AH = 5
Bereken dan AP in de rechthoekige driehoek AHP.
AH2 + HP2 = AP2
52 + 52 = AP2
AP2 = 50
AP = √50
AP ≈ 7,07
AP = BP = 7,07 (cm)
b. We hebben nu een "mogelijke" Pythagoras driehoek ABP.
Dan moet dus gelden:
AP2 + BP2 = AB2 (Is dat wel zo?)
(√50)2 + (√50)2 = 102 (?)
50 + 50 = 100 (?)
100 = 100
Ja, dat klopt zeker! Dus dan moet de hoek wel 90º zijn.
Dus driehoek ABP is rechthoekig.
75.
AP2 + MP2 = AM2
22 + 4,852 = AM2
AM2 = 27,5225
AM = √27,5225
AM ≈ 5,25 m
AM2 + MT2 = AT2
27,5225 + 3,52 = AT2
AT2 = 39,7725
AT = √39,7725
AT ≈ 6,31 m
b.
AP2 + PT2 = AT2
22 + PT2 = 39,7725
PT2 = 35,7725
PT = √35,7725
PT ≈ 5,98 m (hoogte driehoek)
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x basis x hoogte
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x AB x PT
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x 4 x 5,98
Oppervlakte driehoek ABT = 11,96 m2
Dus de oppervlakte van het hele dak is: 8 x 11,96 m2 = 95,68 m2
Tip:
AG is een lichaamsdiagonaal.
Een diagonaalvlak is een rechthoek.
a. AG is een lichaamsdiagonaal.
Een diagonaalvlak is een rechthoek.
AB2 + BC2 = AC2
32 + 42 = AC2
AC2 = 9 + 16
AC2 = 25
AC = √25
AC = 5 cm
b.
Vierhoek ACGE is een rechthoek. De zijden zijn: 5 x 2 cm.
c.
AC2 + CG2 = AG2
52 + 22 = AG2
AG2 = 25 + 4
AG2 = 29
AG = √29
AG ≈ 5,39 cm
67.
Tip:
Bereken eerst BD met Pythagoras in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken daarna BH met Pythagoras in driehoek BDH. Bedenk: ∠BDH = 90º
a. Bereken eerst BD met Pythagoras in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken daarna BH met Pythagoras in driehoek BDH. Bedenk: ∠BDH = 90º
AB2 + AD2 = BD2
52 + 32 = BD2
BD2 = 25 + 9
BD2 = 34
BD = √34
BD ≈ 5,83
BD2 + DH2 = BH2
34 + 32 = BH2
BH2 = 34 + 9
BH2 = 43
BH = √43
BH ≈ 6,6 cm
b.
Alle lichaamsdiagonalen in een balk of kubus zijn even lang.
68.
Tip:
Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras BD in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras DF in driehoek FBD. Bedenk: ∠FBD = 90º
AB2 + AD2 = BD2Bereken eerst met de Stelling van Pythagoras BD in driehoek BAD. Bedenk: ∠BAD = 90º
Bereken dan met de Stelling van Pythagoras DF in driehoek FBD. Bedenk: ∠FBD = 90º
42 + 42 = BD2
BD2 = 16 + 16
BD2 = 32
BD = √32
BD ≈ 5,66 cm
BD2 + BF2 = DF2
32 + 42 = DF2
DF2 = 32 + 16
DF2 = 48
DF = √48
DF ≈ 6,9 cm
69.
Tip:
De maximale lengte van de mast is de lengte van de lichaamsdiagonaal AG.
Bereken eerst AC.
Bereken dan AG.
AB2 + BC2 = AC2De maximale lengte van de mast is de lengte van de lichaamsdiagonaal AG.
Bereken eerst AC.
Bereken dan AG.
32 + 22 = AC2
AC2 = 9 + 4
AC2 = 13
AC = √13
AC ≈ 3,6 m
AC2 + CG2 = AG2
13 + 2,52 = AG2
AG2 = 19,25
AG = √19,25
AG ≈ 4,39 m
Dus de maximale lengte van de mast (AG) die in het huisje past, is 4,39 meter.
De werkelijke mast is echter 4,5 meter.
Dus je moet er: 4,5 m - 4,39 m = 0,11 meter van afzagen. Dat is 11 cm.
70.
Tip:
Draad links en rechts (d1 en d3) kunnen met de Stelling van Pythagoras.
De draad in het midden (d2) doe je met 2x de Stelling van Pythagoras.
Bereken eerst de gronddiagonaal BD.
62 + 42 = d12Draad links en rechts (d1 en d3) kunnen met de Stelling van Pythagoras.
De draad in het midden (d2) doe je met 2x de Stelling van Pythagoras.
Bereken eerst de gronddiagonaal BD.
d12 = 36 + 16
d12 = 52
d1 = √52
d1 ≈ 7,21 m (draad links)
82 + 42 = d32
d32 = 64 + 16
d32 = 80
d3 = √80
d3 ≈ 8,94 m (draad rechts)
Nu de middelste draad d2:
AB2 + AD2 = BD2
82 + 62 = BD2
BD2 = 64 + 36
BD2 = 100
BD = √100
BD = 10 m
BD2 + DE2 = BE2
102 + 42 = BE2
BE2 = 100 + 16
BE2 = 116
BE = √116
BE ≈ 10,77 m (draad midden = d2)
Totale lengte van de draad is: d1 + d2 + d3 = √52 + √116 + √80 = 26,93 meter.
71.
Tip:
AS = 1/2AC
Bij a: Bereken eerst AC met de Stelling van Pythagoras.
Bij b: ∠AST is 90º.
a.AS = 1/2AC
Bij a: Bereken eerst AC met de Stelling van Pythagoras.
Bij b: ∠AST is 90º.
AB2 + BC2 = AC2
82 + 62 = AC2
AC2 = 64 + 36
AC2 = 100
AC = √100
AC = 10
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 10 = 5
b.
AS2 + ST2 = AT2
52 + ST2 = 132
ST2 = 169 - 25
ST2 = 144
ST = √144
ST = 12
72.
Tip:
Bereken eerst AC. Bedenk: AS is de helft van AC
Gebruik dan de Pythagoras driehoek: AST
ST is de hoogte van de piramide
AB2 + BC2 = AC2Bereken eerst AC. Bedenk: AS is de helft van AC
Gebruik dan de Pythagoras driehoek: AST
ST is de hoogte van de piramide
352 + 352 = AC2
AC2 = 2450
AC = √2450
AC ≈ 49,50
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 49,50 = 24,75
AS2 + ST2 = AT2
24,752 + ST2 = 272
ST2 = 116,44
ST = √116,44
ST ≈ 10,79
Dus de hoogte van de piramide is 10,8 meter.
73.
Tip:
De hoogte van de toren is de hoogte van de piramide plus 24.
AB2 + BC2 = AC2De hoogte van de toren is de hoogte van de piramide plus 24.
102 + 102 = AC2
AC2 = 100 + 100
AC2 = 200
AC = √200
AC ≈ 14,14
Dus: AS = 1/2 x AC = 1/2 x 14,14 = 7,07 meter
AS2 + ST2 = AT2
7,072 + ST2 = 122
ST2 = 122 - 7,072
ST2 = 94,02
ST = √94,02
ST ≈ 9,70
Dus de hoogte van de toren is: ST + 24 = 9,70 + 24 = 33,70 meter.
Afgerond op gehelen: 34 meter.
74.
Tip:
Omdat P het midden is van GH weten we dus: AP = BP.
Bereken eerst AH en dan AP.
Kijk daarna of de Stelling van Pythagoras geldt in driehoek ABP.
a. Bereken eerst AH in driehoek ADH.Omdat P het midden is van GH weten we dus: AP = BP.
Bereken eerst AH en dan AP.
Kijk daarna of de Stelling van Pythagoras geldt in driehoek ABP.
AD2 + DH2 = AH2
42 + 32 = AH2
AH2 = 25
AH = √25
AH = 5
Bereken dan AP in de rechthoekige driehoek AHP.
AH2 + HP2 = AP2
52 + 52 = AP2
AP2 = 50
AP = √50
AP ≈ 7,07
AP = BP = 7,07 (cm)
b. We hebben nu een "mogelijke" Pythagoras driehoek ABP.
Dan moet dus gelden:
AP2 + BP2 = AB2 (Is dat wel zo?)
(√50)2 + (√50)2 = 102 (?)
50 + 50 = 100 (?)
100 = 100
Ja, dat klopt zeker! Dus dan moet de hoek wel 90º zijn.
Dus driehoek ABP is rechthoekig.
75.
Tip:
AB = 32/8 = 4 meter
Driehoek ABM ligt horizontaal. M ligt recht onder T.
TM = 6 - 2,5 = 3,5
AF = 9,70 dus PM = 1/2 x 9,70 = 4,85
a.AB = 32/8 = 4 meter
Driehoek ABM ligt horizontaal. M ligt recht onder T.
TM = 6 - 2,5 = 3,5
AF = 9,70 dus PM = 1/2 x 9,70 = 4,85
AP2 + MP2 = AM2
22 + 4,852 = AM2
AM2 = 27,5225
AM = √27,5225
AM ≈ 5,25 m
AM2 + MT2 = AT2
27,5225 + 3,52 = AT2
AT2 = 39,7725
AT = √39,7725
AT ≈ 6,31 m
b.
AP2 + PT2 = AT2
22 + PT2 = 39,7725
PT2 = 35,7725
PT = √35,7725
PT ≈ 5,98 m (hoogte driehoek)
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x basis x hoogte
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x AB x PT
Oppervlakte driehoek ABT = 1/2 x 4 x 5,98
Oppervlakte driehoek ABT = 11,96 m2
Dus de oppervlakte van het hele dak is: 8 x 11,96 m2 = 95,68 m2
Andere paragrafen:
4.1. Wortels (1 t/m 15)
4.2. Rechthoekige driehoeken (16 t/m 23)
4.3. Zijden berekenen in rechthoekige driehoeken (24 t/m 43)
4.4. De stelling van Pythagoras toepassen (44 t/m 56)
4.5. Doorsneden (57 t/m 65)
4.6. Pythagoras in de ruimte (66 t/m 75)
4.1. Wortels (1 t/m 15)
4.2. Rechthoekige driehoeken (16 t/m 23)
4.3. Zijden berekenen in rechthoekige driehoeken (24 t/m 43)
4.4. De stelling van Pythagoras toepassen (44 t/m 56)
4.5. Doorsneden (57 t/m 65)
4.6. Pythagoras in de ruimte (66 t/m 75)
Hoe maken wij onze video's?
Word ook lid!
Word ook lid!
Ook van ons:
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)
Een virtuele tour:
