Differentiëren - Afgeleide functie
01-06-2025
admin
23
|
|
|
|
Inleiding
Differentiëren is het berekenen van de afgeleide functie. De richtingscoëfficiënt van een gebogen lijn bestaat niet. Om de helling van een functie in een bepaald punt te bepalen, berekenen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Als we zouden inzoomen op dat raakpunt dan zie je dat de grafiek en de raaklijn steeds dichter elkaar benaderen. Op de aarde ervaar je dat ook. De aarde is bol, maar als je erover heen loopt, ervaar je dat het vlak is.
Stel je hebt de functie y = x3 - 9x. Het punt A(3,0) ligt op deze grafiek. Wil je de raaklijn bepalen door A(3,0) dan ga je als volgt te werk. Bepaal eerst de afgeleide functie. Deze is y'(x) = 3x2 - 9. Vullen we daar van het punt A(3,0) de x-coordinaat in dan krijgen we => rc = 3 x 32 - 9 = 27 - 9 = 18. Dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De raaklijn is van de vorm: y = ax + b. Hieruit volgt: y = 18x + b. Hier A(3,0) invullen en b wordt dan -54. Dus raaklijn aan functie y = x3 - 9x in punt A(3,0) => y = 18x - 54. Je kunt van een functie de rico's (richtingscoëfficiënten) van de raaklijnen van alle punten bepalen. Dan krijg je weer een nieuwe functie. Deze nieuwe functie noemen we de afgeleide functie. We noteren de afgeleide functie van functie f(x) als f'(x).
Formule Differentiëren - Afgeleide functie
Rekenregel 1:
Als f(x) = g(x) + C, dan is f'(x) = g'(x)
Rekenregel 2:
Als f(x) = c * g(x), dan is f'(x) = c * g'(x)
Rekenregel 3:
Als y = f(x) + g(x), dan is y' = f'(x) + g'(x) (Somregel)
Als y = f(x) - g(x), dan is y' = f'(x) - g'(x)
Rekenregel 4:
Als y = f(x) * g(x), dan is y' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) (Productregel)
Rekenregel 5:
Als y = f(g(x)), dan is y' = f'(g(x)) * g'(x) (Kettingregel)
Rekenregel 6:
Als y = f(x) / g(x), dan is y' = (g(x)*f'(x) - f(x)*g'(x)) / ((g(x))2 ) (Quotientregel)
Voorbeelden Differentiëren - Afgeleide functie
| f(x) | f'(x) |
| y = c, met c een constante | y'(x) = 0 |
| y = xp | y' = p xp-1 |
| y = sin(x) | y' = cos(x) |
| y = cos(x) | y' = -sin(x) |
| y = gx | y' = gx ln(g) |
| y = glog(x) | y' = 1 / ( x ln(g) ) |
Voorbeeld 1: Rekenregel 1
Bepaal de afgeleide van y = -3cos(x)
=> f'(x) = -3 * -sinx(x) = 3sin(x)
Voorbeeld 2: Som-regel
Bepaal de afgeleide van y = 3x2 + 6x - 3
=> f'(x) = 3 * 2 * x2-1 + 6 + 0
=> f'(x) = 6x + 6
Voorbeeld 3: Product-regel
Bepaal de afgeleide van y = 5x * sin(x)
=> f'(x) = [5x]' * sin(x) + 5x * [sin(x)]'
=> f'(x) = 5 * sin(x) + 5x * cos(x)
=> f'(x) = 5sin(x) + 5xcos(x)
Voorbeeld 4: Ketting-regel
Bepaal de afgeleide van y = (x2+1)10
Stel: g(x) = x2+1 en f(x) = x10
De afgeleide van f(x) is f'(x) = 10x9
De afgeleide van g(x) is g'(x) = 2x
Volgens de kettingregel berekenen we de afgeleide als volgt:
y = f'(g(x)) * g'(x) = 10*(x2+1)9 * 2x = 20x * (x2+1)9 = 20x(x2+1)9
Extra
Stel we hebben de functie y = x2. Neem een willekeurig punt A op deze functie. Kies een tweede punt B ook op deze functie. Bepaal de lijn door A en B.
Hoe meer punt B naar punt A nadert, des te nauwkeuriger de raaklijn door A. De rc van lijn AB kunnen we als volgt bepalen:
rcAB = yb - ya / xb - xa.
Uiteindelijk leidt dit tot rcAB = 2xa + a.
Hieruit volgt dat de afgeleide functie f'(x) van f(x) = x2 is f'(x) = 2x.
Stijgen en dalen
Met de afgeleide kun je in ieder punt van de grafiek de rc van de raaklijn bepalen. Maar een raaklijn kan een stijgende of een dalende beweging aangeven.
De vraag rijst dan waar is de oorspronkelijke grafiek dalend of stijgend en waar liggen de waarden van de extreme waarden als maxima en minima?
Video's
Word ook lid!
Brugklas.net
Vmbobasis.nl
Vmbokader.nl
Mavo3.nl
Mavo4.nl
Havo1.nl
Havo2.nl
Havo3.nl
Vwo1.nl
Vwo2.nl
Vwo3.nl
Wiskunde-a.nl (4/5/6)
Wiskunde-b.nl (4/5/6)
Wiskunde-c.nl (4/5/6)
Wiskunde-d.nl (4/5/6)
Wiskundeles.nl
Wiskunde.help
Wiskunde.LIVE (later meer)
Wiskunde examentraining (2025)