Wiskunde.net

Home
Examens
- Alle theorie
- 2023
- 2022
- 2021
- 2020
- 2019
- 2018
- 2017
- 2016
- 2015 (alleen B)
- 2014 (alleen B)
Uitwerkingen
- Overzicht
- VMBO
- HAVO
- HAVO/VWO
- VWO
Voor scholen
Video uitwerkingen
Promotie

Standaarddeviatie

LET OP: Wil je ook toegang tot meer dan 15.800 video-uitwerkingen voor 36 euro per jaar? Meld je dan snel aan! Klik hier...

01-02-2025

admin

Inleiding

De standaarddeviatie is een belangrijk begrip in de statistiek. De standaarddeviatie geeft de mate van spreiding van getallen rondom het gemiddelde van deze getallen (afb. 1). Bij een getallenreeks (bijvoorbeeld alle rapportcijfers van 23 leerlingen uit klas 4) is het belangrijk om na te gaan of de getallen dicht rondom het gemiddelde liggen of juist ver van het gemiddelde afliggen. De indicator die wij hiervoor hanteren is de standaarddeviatie. In de statistiek spreekt men ook wel van de term standaardafwijking. Bij een hogere spreiding is er dus sprake van dat alle getallen ver uit elkaar liggen (afb. 2b). Bij een kleine spreiding of afwijking liggen de getallen dichtbij elkaar (afb. 2a). De standaarddeviatie is gedefinieerd als de wortel uit de variantie en daardoor vergelijkbaar met de waarden van de variabelen zelf. Stel dat alle getallen in een reeks allemaal gelijk zijn (bijvoorbeeld alle 23 leerlingen hebben als rapportcijfer een 7) dan is de standaarddeviatie dus 0. Want er is geen spreiding van de getallen rondom het gemiddelde. Sterker nog, alle getallen zijn gelijk aan het gemiddelde. Hoe groter de range (het verschil tussen het laagste en hoogste getal uit de reeks) des de groter is de standaarddeviatie.

De standaarddeviatie drukken we uit in een getal. Dit getal wordt meestal aangeduid met de letter σ. Hieronder zie je de formule van de standaarddeviatie. We zullen de formule van de standaarddeviatie even kort toelichten:

S_x = σ = de standaarddeviatie van getallenreeks x.
X_i = de waarde van getal i in de getallenreeks.
X_gem = het gemiddelde van de getallenreeks (som getallen / aantal)
N_x = het aantal getallen in de proef.

Formule Standaarddeviatie

σ = S_x = √( ∑ ( (x_i - x_gem)² / n_x) )

Voorbeelden Standaarddeviatie

Voorbeeld 1: gegeven de getallenreeks 2, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 10

1. Bereken het gemiddelde Xgem:
X_gem = (2+4+5+5+6+7+9+10) / 8 = 6

2. Bereken van elk getal (x_i) de deviatie d_i:
d_i = x_i - X_gem, dus alle deviaties zijn:
(2-6),(4-6),(5-6),(5-6),(6-6),(7-6),(9-6),(10-6)
=> alle deviaties zijn dus: -4, -2, -1, -1, 0, 1, 3, 4

3. Neem nu van alle deviaties het kwadraat, deze zijn achtereenvolgens:
16, 4, 1, 1, 0, 1, 9, 16

4. Bereken nu het gemiddelde van al deze kwadraten:
=> (16+4+1+1+0+1+9+16) / 8 = 6

5. Neem nu de wortel van dit gemiddelde
σ = √ ( ∑(d² / n) ) = √6

Extra

De procedure om de standaarddeviatie uit te rekenen van een getallenreeks is als volgt: (afb. 1)

1. bereken eerst het gemiddelde van de getallen X_gem
2. bereken van elk getal de deviatie d_i. Deviatie d_i is gelijk aan het verschil van x_i - X_gem. Dus hoever wijkt getal x_i af van het gemiddelde.
3. neem van elke deviatie d_i het kwadraat.
4. tel alle kwadraten uit punt 3 bij elkaar op.
5. neem het gemiddelde van al deze kwadraten.
6. neem de wortel van dit gemiddelde.
7. de uitkomst is de standaarddeviatie σ.

Het uitrekenen van de standaarddeviatie kan veel tijd in beslag nemen als de getallenreeks erg lang en complex is. Met veel rekenmachines kun je gemakkelijk de standaarddeviatie bepalen. Ook zijn er diverse websites die heel snel de standaarddeviatie voor je kunnen uitrekenen.

De standaarddeviatie kan gebruikt worden om te kijken of de getallen "normaal" verdeeld zijn. Hiervoor hebben wij een aantal vuistregels. Bij een normale verdeling van de getallen (afb. 3):
- ongeveer 68% wijkt maximaal 1x de standaarddeviatie af van het gemiddelde (tussen μ-σ en μ+σ)
- ongeveer 95% wijkt maximaal 2x de standaarddeviatie af van het gemiddelde (tussen μ-2σ en μ+2σ)
- ongeveer 97% wijkt maximaal 3x de standaarddeviatie af van het gemiddelde (tussen μ-3σ en μ+3σ)

Is bovenstaande niet het geval, dan hebben wij te maken met een andere type verdeling dan de normale verdeling.

Stel wij hebben 2 klassen met 10 leerlingen. Klas A heeft als rapportcijfers 5 enen en 5 tienen. Het gemiddelde is dan 55 : 10 = 5,5. Klas B heeft als rapportcijfers 5 vijfen en 5 zessen. Het gemiddelde is dan ook 55 : 10 = 5,5. Bij klas A is de spreiding groter dan bij klas B. Want de spreiding bij klas A is [1..10] en bij klas B [5..6]. Hier zie je dus de duidelijke werking van de standaarddeviatie.