Wiskunde.net

Priemgetallen

01-06-2025admin23

Inleiding

Priemgetallen zijn alle natuurlijke getallen groter dan 1, die alleen door 1 en zichzelf deelbaar zijn. Het getal 2 is het kleinste priemgetal en de reeks gaat vervolgens zo verder:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Omdat elk natuurlijk getal een product van priemgetallen is, zijn priemgetallen de belangrijkste natuurlijke getallen (hoofdstelling van de elementaire getallentheorie). Daardoor vervullen priemgetallen op het gebied van getallen een vergelijkbare rol als scheikundige elementen op het gebied van verbindingen.

De belangrijkste stelling met betrekking tot priemgetallen staat al in het boek De elementen van Euclides, het eerste wiskundeboek ter wereld. Daarin wordt beweerd dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Dat betekent dat het grootste priemgetal niet bestaat omdat er altijd nog een groter priemgetal is. Het bewijs voor deze stelling is geraffineerd: Euclides neemt aan dat het aantal priemgetallen eindig is en uit deze vooronderstelling leidt hij een tegenstrijdigheid af.

Stel, p1, p2, p3 enz. zijn allemaal priemgetallen. Vervolgens nemen we het getal n = p1*p2*p3...*pn + 1. Omdat dit getal net als elk natuurlijk getal >1 door een priemgetal deelbaar moet zijn, treedt er na een tijdje een tegenstrijdigheid op.

In de 19e eeuw werd een enorme aanscherping van deze stelling bewezen. Deze zogenaamde priemgetalstelling zegt zeer nauwkeurig dat er, in tegenstelling tot de eerste indruk, ongelooflijk veel priemgetallen bestaan. Ze luidt dat er tot een getal x bijvoorbeeld x/lnx priemgetallen zijn, waarbij lnx het natuurlijk logaritme van x is. Als je niet meer weet wat het natuurlijk logaritme is, dan maakt het volgende voorbeeld je wel duidelijk hoe gigantisch groot het aantal priemgetallen is: onder de getallen in de orde van grootte van een biljoen (10 tot de macht 12) bevinden zich meer dan 35 miljard priemgetallen. Gemiddeld is hier elk 28e getal, dus elk 14e oneven getal, een priemgetal. In 2002 was het grootste, bekende priemgetal 2^13.4666.917 - 1, een getal met 4.053.946 cijfers achter de komma. Helemaal uitgeschreven zou het ongeveer 20 km lang zijn.

Voorbeelden Priemgetallen