Wiskunde.net

Voorbeeld 1
Gegeven een rechthoekige driehoek met hoekpunten A, B en C. Hoek A is een rechte hoek. Lijnstuk AB = 4 cm en lijnstuk AC = 3 cm.
Bereken de lengte van BC. We noemen BC de schuine zijde of hypotenusa.

Uitwerking:
Gebruik de formule: a² + b² = c². In plat Nederlands: de ene rechthoekszijde² + de andere rechthoekszijde² = schuine ². Dit levert: AB² + AC² = BC². Vul in wat je weet: 4² + 3² = BC². Hieruit volgt dat BC² = 25 => BC = √25 => BC = 5.

Dit is een van de vele manieren waarop de Stelling kan worden bewezen (zie afb.2). De oppervlakte van het grote vierkant is:

(a+b)² of (a+b)(a+b)

Na vermenigvuldiging en de verzameling van soortgelijke termen, wordt dit: a²+2ab+b².
De oppervlakte van het grote vierkant kan ook worden bepaald door de oppervlakten van de vier driehoeken en het kleine vierkant met zijden van lengte c bij elkaar op te tellen. De oppervlakte van het scheve vierkant is c² en de oppervlakte van elk van de driehoeken is 1/2ab. De som van de vier driehoeken en het scheve vierkant is:

4 * 1/2ab + c²

Dit komt neer op 2ab + c². Omdat we het over hetzelfde vierkant hebben, moeten de oppervlakten gelijk zijn. Dus:

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

De 2ab aan beide kanten van de vergelijking kunnen tegen elkaar worden weggestreept:

a² + b² = c²

Hoewel de formule naar Pythagoras is vernoemd, was de stelling al lang voor zijn tijd bekend bij de Babyloniërs en Indiërs. Maar Pythagoras, of misschien een van de pythagoreeërs, was waarschijnlijk de eerste die de stelling heeft bewezen. De stelling van Pythagoras is de stelling met de meeste bewijzen: tot op heden zijn er ongeveer 400 bewijzen bekend, waaronder ook een bewijs dat werd geleverd door de Amerikaanse president J.A. Garfield (1831- 1881).

Pythagorisch drietallen
In het voorbeeld hierboven waarin drie, vier en vijf worden gebruikt voor de zijden van een rechthoekige driehoek, heet een 'pythagorisch drietal'. Er zijn veel pythagorische drietallen, waaronder alle veelvouden van drie, vier en vijf. In feite maken de beeldverhoudingen (de hoogte-breedteverhouding) van normale (4:3) en breedbeeld (16:9) televisies deel uit van pythagorische drietallen. Hier is de formule om deze te bepalen. Gegeven zijn twee hele getallen n en m waarbij n groter is dan m:

a = n² - m²
b = 2 * n * m
c = n² + m²

Dus als n=2 en m=1 dan:

a = 3, b = 4, c = 5

3D: Pythagoras in de ruimte
Nog iets interessants van de Stelling van Pythagoras is dat deze kan worden toegepast op andere dimensies. Voor ons, in de echte wereld, betekent dat drie dimensies. Stel bijvoorbeeld dat een meisje prulletjes verzamelt en een schoenendoos wil gebruiken om die in te bewaren. Ze ziet een mooi potlood in de winkel, maar voordat ze het koopt, wil ze weten of dit in de doos past. Ieder ander had het potlood gewoon gekocht, maar dit meisje is erg precies. Gelukkig kent ze de afmetingen van de doos: die is 18 cm breed, 28 cm lang en 11 cm hoog. Dan past ze de stelling toe op drie dimensies, ofwel:

a² + b² + c² = d²

waarbij a,b en c de breedte, lengte en hoogte zijn en d de diagonaal is. Nu krijg ze:

18² + 28² + 11² = d²

Dit wordt: 324 + 784 + 121 = d² ofwel d² = 1129. Als we de wortel uit beide kanten nemen, zien we dat een potlood van 35 cm erin past.

Worteltrekken Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren. Het kwadraat van vijf is 52 = 2...
Oppervlakte trapezium Wat is een trapezium? Een trapezium is een vierhoek waarvan minstens 1 paar over...
Inhoud prisma Een prisma is een meetkundig figuur dat bestaat uit allemaal rechthoeken, behalv...