Wiskunde.net

Stelling van fermat

01-08-2025admin23

Inleiding

De Stelling van Pythagoras zegt dat a² + b² = c², waarbij a, b en c de zijden van een rechthoekige driehoek zijn en c de hypotenusa is, dus de langste zijde. Vooral naar rechthoekige driehoeken waarbij de lengte van de 3 zijden in hele getallen kan worden weergegeven is veel onderzoek verricht, bijvoorbeeld 3, 4, 5 of 5, 12, 13. Dergelijke vaste drietallen worden pythagorische drietallen genoemd. Daarvan bestaan er onnoemelijk veel en ze kunnen systematisch worden aangegeven. Dat levert geen problemen op. Een probleem doet zich echter wel voor - en voor wiskundigen betekent een probleem altijd dat het interessant wordt - wanneer we de exponenten verhogen en dan een oplossing in hele getallen vragen. De stelling van Fermat luidt: bestaan er hele getallen a, b en c zodat a³ + b³ = c³ of a⁴ + b⁴ = c⁴ of zelfs a²⁰¹³ + b²⁰¹³ = c²⁰¹³ opgaat?

Natuurlijk bestaan er zulke getallen, bijvoorbeeld a = 0, b = 0 of a = 0 en b = c. Maar deze oplossing zou je terecht flauw vinden. De vraag luidt dus: zijn er positieve getallen a, b en c met bovengenoemde eigenschappen? De Franse jurist Pierre de Fermat (1601 - 1665) heeft dit probleem opgeworpen en - misschien - ook opgelost.

Fermat, rechter van beroep, las in zijn vrije tijd werken van klassieke wiskundigen. Bij het lezen van Diophantos (omstreeks 250) stuitte hij op de eerder genoemde pythagoreïsche drietallen. Hij besloot te onderzoeken of de stelling ook gold met andere exponenten. Hij kwam tot de overtuiging dat er geen oplossing bestond voor machten hoger dan 2: 'lk heb hiervoor een prachtig bewijs gevonden, maar deze kantlijn is te smal om het te noteren', schreef hij enthousiast en uitdagend.

Sindsdien zijn veel wiskundigen in de ban van dit vraagstuk geraakt. Velen droomden er minstens eenmaal in hun leven van dat ze een eenvoudige oplossing ontdekten of ten minste iets van een oplossing zouden achterhalen. Er werden oplossingen gevonden voor bepaalde exponenten (bijvoorbeeld 3 en 4) en een groot deel van de wiskunde, met name de getaltheorie, werd speciaal voor de oplossing van dit vraagstuk ontwikkeld. In 1908 werd zelfs de Wolfskehl-prijs van 100.000 gouden marken uitgeloofd voor degene die het probleem zou oplossen.

Het was allemaal tevergeefs,.. totdat in de herfst van 1994 de bom ontplofte: Andrew Wiles, een Engelse wiskundige die op Princeton doceerde, hield na zeven jaren van eenzaam onderzoek een lezingencyclus in Cambridge en kondigde aan het einde daarvan de oplossing van het Fermat-vraagstuk aan. De oplossing was ongelooflijk gecompliceerd, ver verwijderd van de eenvoud waar Fermat van droomde. Of Fermat echt een oplossing had gevonden, wordt tegenwoordig door veel mensen betwijfeld.

Formule Stelling van fermat