Wiskunde.net

Vergelijkingen (geschiedenis)

01-06-2025admin23

Inleiding

Vergelijking hebben twee kanten en de vraag is of beide kanten dezelfde getalwaarde hebben. Doorgaans heeft een vergelijking een of meer onbekenden (variabelen) en de vraag luidt: welke getallen kunnen voor de variabele(n) worden ingevuld, zodat de linkerkant gelijk is aan de rechterkant? Dergelijke getallen worden oplossingen van de vergelijking genoemd.

Vergelijkingen met variabelen hebben altijd al een belangrijke rol in de wiskunde gespeeld: lineaire vergelijkingen, bijvoorbeeld 3x + 7 = 13, werden al in de Oudheid opgelost. Dat geldt ook voor kwadraatsvergelijkingen, bijvoorbeeld x² - x - 1 = 0. De oplossingsformule hiervoor, die genoemd is naar Francois Vieta (1540 - 1603), was 2000 jaar geleden al bekend.

Oplossingen van vergelijkingen van de derde graad, de zogenaamde derdemachtsvergelijkingen zoals x³ - 3x² + 7x - 1 = 0, zijn veel moeilijker, met name omdat je er dan niet aan ontkomt je toevlucht tot complexe getallen te nemen. Omstreeks 1500 hebben eerst Scipione del Ferro (1465 - 1526) en later Niccolo Tartaglia (1499 - 1557) oplossingen gevonden, die nu Cardano-oplossingen genoemd worden.

Je zou kunnen denken dat het zo verder gaat: vergelijkingen van een hogere graad kunnen ook worden opgelost, maar de formules worden steeds moeilijker. Dat is echter niet waar! Weliswaar kunnen vergelijkingen van de vierde graad nog opgelost worden, maar dan houdt het op. Bij vergelijkingen van de vijfde graad is de magische grens bereikt.

Er bestaan geen oplossingsformules voor vergelijkingen van de vijfde graad. Geen formules, waarin we de coëfficiënten van de vergelijking invoeren, vervolgens worteltrekken, optellen en vermenigvuldigen... om dan de oplossingen eruit te laten rollen. Zoiets bestaat niet.

En voor vergelijkingen van een nog hogere graad al helemaal niet. Tot dit inzicht kwamen twee op jonge leeftijd overleden wiskundigen uit het begin van de 19e eeuw: de Noor Nils Henrik Abel (1802 - 1829) en de Fransman Evariste Galois (1811 - 1832). Abel toonde aan de hand van algemene algebramethoden aan dat er voor een 'algemene vergelijking' van de vijfde of hogere graad geen oplossing bestaat. Galois ging nog een stapje verder en toonde aan dat ook sommige vergelijkingen met expliciet gegeven coëfficiënten niet opgelost kunnen worden. Zo kunnen bijvoorbeeld eenvoudige vergelijkingen als x⁵ - x - 1 = 0 of x⁵ - 4x + 2 = 0 niet worden opgelost.

Voor de duidelijkheid: dit wil niet zeggen dat er voor zulke vergelijkingen geen oplossingen bestaan, maar wel dat die oplossingen niet met een formule, waarin basisrekenmethoden en wortels (vierkantswortels, derdemachtswortels enz.) voorkomen, kunnen worden berekend. Daarom zegt men voorzichtig dat zo'n vergelijking niet met 'radicalen', dat wil zeggen met wortels, opgelost kan worden.

Formule Vergelijkingen (geschiedenis)