Wiskunde.net

Wet van Benford

01-06-2025admin23

Inleiding

Neem eens een aantal getallen. Veel getallen. Dat kunnen statische gegevens zijn als bevolkingsaantallen, geldbedragen of lengten van rivieren. Het kunnen echter ook de eerste 1000 priemgetallen zijn. Kijk nu eens goed naar die getallen. Niet naar de hele getallen, maar alleen naar het begincijfer. Valt je iets op? Als we eventuele nullen buiten beschouwing laten, is het eerste cijfer een van de getallen 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9. Hoe vaak komt het nu voor dat een getal met 1 begint? Je denkt misschien: net zo vaak als met een 9. Dat is niet zo. De frequentie verloopt volgens een 'logaritmische wet': de 1 komt bij 30% van de getallen voor, de 2 bij 17%, de 3 nog maar bij 12% en de 9 ten slotte bij een schamele 4,5%.

Deze first-digit-law is vernoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Frank Benford (1 883 - 1 948), die hem in 1938 formuleerde. Het fenomeen was echter eerder al, in 1881, de Amerikaanse sterrenkundige Simon Newcomb opgevallen. Benford had ontdekt dat logaritmetabellen, die toentertijd bij het rekenen werden gebruikt, op de eerste bladzijden sterk beduimeld waren. Zijn verklaring daarvoor was dat getallen die met een 1 beginnen en daarom aan het begin van logaritmetabellen staan, vaker voorkomen dan getallen die met een ander cijfer beginnen.

De verdeling van begincijfers heeft nog een andere opmerkelijke eigenschap. Laten we eens naar de balans van een grote onderneming kijken. Dan blijkt dat de getallen die in die balans voorkomen volgens de wet van Benford zijn verdeeld. En merkwaardig genoeg maakt het geen verschil of de balans in euro's, dollars of yens is opgesteld. Dit wordt schaalinvariantie genoemd.

De wet van Benford gaat vanzelfsprekend alleen op bij reële gegevens, niet bij verzonnen getallen of iets dergelijks. Daarom kan deze wet worden gebruikt om vervalste gegevens op te sporen, bijvoorbeeld vervalste balansen. Wanneer er namelijk op de een of andere manier met getallen gerommeld is, dan is het vaak zo dat de wet van Benford niet opgaat. En dat is logisch: wanneer ik getallen zou vervalsen, dan zou ik ervoor zorgen dat ze 'statistisch' verdeeld zijn. Dat betekent dat alle cijfers, van de 1 tot en met de 9, even vaak als begincijfer zouden voorkomen. Helemaal fout! In reële gegevens begint niet slechts 11%, maar 30% van alle getallen met een 1!