Wiskunde.net

Voorbeeld 1: Los op met de abc formule: 3x²+7x+4=0

Uitwerking: Bepaal eerst a,b en c. Hieruit volgt dat a=3, b=7 en c=4. Vul deze waarden in de abc-formule, levert:

x1 = -7 + √(7² - 4x3x4) / 2x3

x2 = -7 - √(7² - 4x3x4) / 2x3

x1 = -7 + √(1) / 6

x2 = -7 - √(1) / 6

Oplossingen (nulpunten): x1 = -1 en x2 = -4/3
Voor snijpunten met de x-as vul x1 en x2 in in de vergelijking voor de y-waarden.

We beginnen met de basisvorm voor de abc formule:

ax² + bx + c = 0
Nu vermenigvuldigen we het linker- en rechterlid met 4a. Dit levert:

4a(ax² + bx + c) = 0, uitgeschreven levert dit:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0, tel nu links en rechts b² erbij op. Dit levert:

4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b², breng nu 4ac van linkerlid naar rechterlid. Dit levert:

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac, je ziet nu iets bekend staan bij het rechterlid.

Let wel: Het linkerlid kunnen we nu ontbinden in de volgende factoren (2ax + b)(2ax + b). Dit levert:

(2ax + b)² = b² - 4ac

Je weet als: x² = a, dan zijn de oplossingen: x = √(a) of x = -√(a). Hieruit volgt:

(2ax + b) = ±√(b² - 4ac)

Links en rechts 'b' aftrekken, levert:

2ax = -b ±√(b² - 4ac)

Daarna links en rechts delen door 2a, levert:

x = -b ±√(b² - 4ac) / 2a

Hieruit volgen de oplossingen met de abc formule:

x1 = -b - √(b² - 4ac) / 2a

en

x2 = -b + √(b² - 4ac) / 2a

Een aantal basisregels voordat je de abc formule gaat gebruiken:
- bij beide leden (links en rechts van het "="-teken) mag je hetzelfde getal optellen als aftrekken.
- beide leden mag je vermenigvuldigen of delen met hetzelfde getal. Het getal moet wel ongelijk 0 zijn.

Vermenigvuldigen met een macht van x mag ook niet, want dan wordt het een hogere graads vergelijking.

Als a=1 bij ax²+bx+c=0 hoef je niet persé de abc formule te gebruiken. Mogelijk kun je de vergelijking dan onbinden in factoren. Bijv: x²-4x-12=0. Dit levert (x+2)(x-6)=0, met als snijpunten met de x-as x=-2 of x=6

Tevens kun je met de basisvorm ax²+bx+c=0 de top van de parabool berekenen. Xtop = -b/2a